Analysis I - IV by Hilgert J.

By Hilgert J.

Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.

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X ✲x ...................... ................ ........... . . . . ...... ....... ...... 6 : Entscheide, ob die folgenden Grenzwerte existieren und berechne sie gegebenenfalls. x . 7 : Sei 1 0 f (x) := falls x rational, falls x irrational. Zeige, daß der Grenzwert lim f (x) f¨ ur kein a ∈ R existiert. 8 : Sei f : R → R eine Funktion, die die Cauchysche Funktionalgleichung f (x + y) = f (x) + f (y) f¨ ur alle x, y ∈ R erf¨ ullt.

2 ❅ ❅❝ ✲ 2❅ ❅ (ii) Die Funktion f : R \ {0} → R, x→ 1 1 − x x hat weder einen rechtsseitigen noch einen linksseitigen Grenzwert in 0. ✻ .. 1 x .. ... ... .... ....... ................. ..................... ....... .... ... ... .. B. f 1 n+r ✲ ¨ = r f¨ ur alle r ∈ [0, 1[ (vgl. 15). 3 : Betrachte die Funktion f : R → R, x → 1 x2 +1 . 1. GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 35 ✻ ........................................ .......... ............ ........................ . ✲ Wir zeigen, daß limx→1 f (x) = 12 .

4 : Sei I ein Intervall in R und f : I → R eine strikt monoton steigende (fallende) stetige Funktion. Dann gilt (i) f (I) = {f (x) | x ∈ I} ist ein Intervall. (ii) f : I → f (I) ist bijektiv. (iii) f −1 : f (I) → I ist eine strikt monoton steigende (fallende) stetige Funktion. 3 zeigt man, daß f (I) ein Intervall mit den Endpunkten inf f (I) und sup f (I) ist. Teil (ii) und die strikte Monotonie in Teil (iii) folgen sofort aus der strikten Monotonie.

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