By Günther J. Wirsching
Ausgehend von Beispielen aus Physik und Biologie wird die Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen im Hinblick auf die Theorie dynamischer Systeme entwickelt. Dabei liegt der Schwerpunkt sowohl auf mathematischer Präzision als auch auf der klaren Darstellung von Verbindungen der mathematischen Modelle zu Naturphänomenen und naturphilosophischen Ideen. So werden Resultate zur Existenz, Eindeutigkeit und stetigen Abhängigkeit bewiesen und in Verbindung mit dem Laplaceschen Dämon und dem Schmetterlingseffekt aus der Chaos-Theorie diskutiert, Überlegungen zur Stabilität mit Beispielen aus der Mechanik illustriert und Theoreme zum Langzeitverhalten von Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen in ihrem Zusammenhang mit dem Maxwellschen Dämon und dem Volterra-Effekt in der Biologie dargestellt. Zu vielen der Aufgaben werden im Anhang ausführliche Musterlösungen vorgestellt.
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4 Eine lokale Lipschitzbedingung impliziert Eindeutigkeit 47 also insbesondere |φ(t1 )| |φ(t0 )| + t1 σ(s) ds · eρmax (t1 )|t1 −t0 | . 7) bewiesen ist. 4 Eine lokale Lipschitzbedingung impliziert Eindeutigkeit Bis jetzt haben wir Sätze über die Existenz von Lösungen bewiesen und die Frage nach der Eindeutigkeit offen gelassen. Aus den Aufgaben und Beispielen der vorigen Kapitel wissen wir bereits: 1. Im Allgemeinen gibt es keine Eindeutigkeit der Lösung eines Anfangswertproblems, siehe z. B. 2. 2.
1 (Picard-Iteration) Eine Alternative zum Eulerschen Polygonzugverfahren ist die Picard-Iteration 7 zur Lösung eines Anfangswertproblems x˙ = f (t, x), x(t0 ) = x0 . Hierzu beginnt mit der konstanten Funktion φ0 ≡ x0 und berechnet induktiv die Folge der Picard-Iterierten Z τ f (s, φn−1 (s)) dsfür n ∈ N; φn (τ ) := x0 + t0 natürlich muss man hierbei noch einige technische Details voraussetzen, damit das Integral definiert ist. a) Man bestimme die Folge (φn : R → R)n 0 der Picard-Iterierten für die Differentialgleichung x˙ = x, mit einem beliebigen Anfangswert x(0) = x0 ∈ R und beweise lim φn (t) = x0 et für jedes feste t ∈ R.
11) Hierzu sei A = {xm : m ∈ N} eine Aufzählung der Elemente von A. Da die Menge {fn (x1 ) : n ∈ N} beschränkt ist, gibt es nach dem Satz von BolzanoWeierstraß eine konvergente Teilfolge fn(1) (x1 ) . Durch vollständige Ink duktion erhält man zu jedem m ∈ N, m mit den Eigenschaften 3 Georg k∈N 2, eine Funktionenfolge fn(m) k k∈N Ferdinand Ludwig Cantor, *1845 St. 1918 Halle/Saale. Begründete die Mengenlehre in seiner sechsteiligen Arbeit Über unendliche lineare Punktmannigfaltigkeiten (1878–1884).