Grundriss der Generalisierten Gauß'schen Fehlerrechnung by Michael Grabe

By Michael Grabe

Die Generalisierte Gauß’sche Fehlerrechnung zielt auf nicht weniger als die rigorose Neu­fassung der klassischen Gauß’schen Forma­lis­men. Die Erkenntnis, dass Messdaten im Allgemeinen jedenfalls nicht­­eli­mi­nierbare, nach Betrag und Vor­zeichen unbe­kannte syste­matische Fehler überlagert sind, besie­gelte den Zusam­men­bruch des Gauß’­schen Kon­zeptes.

Die Generalisierte Gauß’sche Fehlerrechnung interpretiert systema­tische Fehler als biaserzeugend. Konsequenterweise unter­scheiden sich die wahren Werte der Mess­größen von den Erwartungs­werten der Schätzer. Derartige zeitkon­stante Diffe­renzen haben Messunsicher­heit­en zum Tragen zu bringen. Aber auch hinsichtlich der Verarbei­tung zu­fälliger Messfehler weicht der Autor von der konven­tionellen Vor­gehens­weise ab. Wie sich zeigen läßt, empfiehlt es sich, die Fort­pflanzung zufälliger Messfehler auf die Ver­teil­ungsdichte der em­pi­­rischen Momente zweiter Ord­nung zu stützen.

Messunsicherheiten stellen sich als Summen Student’­scher Ver­trau­ens­be­reiche und Worst-Case- Abschätz­ungen gewisser auf syste­ma­tische Fehler zu­rück­gehender Terme dar.

Die Messunsicherheiten der Generalisierten Gauß’schen Fehler­rech­nung zeigen baukastenähnliche, robuste Strukturen, die, wie Daten­si­mu­lationen bele­gen, die wahren Werte physikalischer Größen „quasi­sicher“ lokalisieren.

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Mehr ist nicht zu erreichen, aber das genügt uns. 9) in wahren Werten lesbar ist. x0;1 x0;2 den Vektor der wahren Eingangsdaten. 10) existieren. A T A/ 1 A T x 0 : Im Sinne der obigen Forderung sollen die Unsicherheiten uˇNk der ˇNk die wahren Werte ˇ0;k lokalisieren, ˇNk uˇNk Ä ˇ0;k Ä ˇNk C uˇNk ; k D 1; : : : ; r : Begeben wir uns jetzt in den m-dimensionalen Vektorraum. Die Entwurfsmatrix A definiert r voneinander linear unabhängige m-dimensionale Spaltenvektoren 0 1 a1k Ba C B 2k C ak D B C I @ ::: A k D 1; : : : ; r : amk Die r Vektoren spannen den r-dimensionalen Spaltenraum der Matrix A auf.

Experimentelles Arbeiten zieht fehlerhafte rechte Seiten xi ; i D 1; : : : ; m nach sich. 9) auszugehen. Die Beobachtungsfehler machen das lineare System in sich widersprüchlich. Es besitzt keinen Lösungsvektor. Dennoch können wir einen Vektor konstruieren, der das System im Sinne der Methode der kleinsten Quadrate „löst“. 9) an. Da er nicht exakt ist, weisen wir seinen Komponenten ˇNk ; k D 1; : : : ; r Messunsicherheiten zu, die die Komponenten des unzugänglichen wahren Lösungsvektors lokalisieren.

Die Äquivalenz beider Definitionen ist nur so gegeben. Je mehr sich xl und xN unterscheiden, desto stärker der jeweilige Einfluss auf s 2 . Die Differenz der Fehlergleichungen xl D x0 C "l C f n xN D x0 C 1X "l C f n lD1 M. Grabe, Grundriss der generalisierten Gauß’schen Fehlerrechnung. 2) lD1 Hiernach bringt die empirische Varianz ausschließlich zufällige Fehler zum Tragen. 3) n 1 lD1 die sogenannte empirische Standardabweichung, ist ein erstes Maß zur Charakterisierung der Streubreite zufälliger Messfehler.

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