Tous les exercices d'algèbre et de géométrie PC-PSI by Philippe Chateaux, El Haj Laamri, Gérard Eguether, Alain

By Philippe Chateaux, El Haj Laamri, Gérard Eguether, Alain Mansoux, Collectif

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La monnaie et ses pièges

Certains passages ont déjà été publiés dans worry los angeles decide upon de Milton et RoseFriedman © 1980, 1979 by means of Milton Friedman and Rose D. Friedman; et certainschapitres d'abord publiés par Jou mal of Political economic climate, 1990; Jou mal of EconomicPerspectives, 1990; et financial and ECO/lOmic Siudies (Bank of Japan), 1985.

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Il existe alors une base (e1 , . . en ) de E telle que (e1 , . . , er ) soit une base de F ∩ G, (er+1 , . . , e p ) soit une base de F1 , (e p+1 , . . , e2 p−r ) soit une base de G 1 et (e2 p−r+1 , . . , en ) soit une base de H1 . Pour j ∈ {r + 1, . . , p}, posons a j = e j + e j+ p−r , et considérons le sous-espace H = Vect(ar+1 , . . , a p , e2 p−r+1 , . . , en ). Soit x ∈ F ∩ H . En décomposant x dans les bases de F et H , on peut écrire p r li ei = x= i=1 n m j (e j + e j+ p−r ) + j=r+1 njej , j=2 p−r+1 d’où l’on déduit p r li ei − i=1 p mjej = j=r+1 n m j e j+ p−r + j=r+1 njej .

18 page 17, que la famille (u n−1 (x), . . , u(x), x) est une famille libre de E. Comme elle est de cardinal n dans un espace de dimension n, c’est en fait une base de E. Dans cette ⎛ ⎞ 0 1 0 ... 0 ⎜ .. . . . . .. ⎟ ⎜. ⎜. ⎟ . ⎜ . . 0⎟ base, la matrice de u est de la forme ⎜ .. ⎟. ⎜. ⎟ .. ⎝ .. 1⎠ 0 ... ... 41 Polytechnique PC 2005 Soit D l’application de R [X ] dans R [X ] définie par : ∀P ∈ R [X ] , D(P)(X ) = P(X + 1) − P(X ). 1) Montrer que D est linéaire, que Ker D = R0 [X ] et que Im D = R[X ].

Xn1 . . , xnqn ) est une base de E. • Somme directe et projecteurs n Soit (E 1 , . . , E n ) une famille de sous-espaces vectoriels de E. Alors E = Ei i=1 si et seulement si il existe une (unique) famille ( p1 , . . , pn ) de projecteurs de E tels que : 1) ∀i ∈ [[1, n]] , Im pi = E i . 2) ∀(i , j) ∈ [[1, n]]2 , i = j ⇒ pi ◦ p j = 0 n pi = Id E . 3) i=1 • Construction d’applications linéaires n Soient E 1 , . . , E n des sous-epaces vectoriels de E tels que E = E i et F un i=1 K-espace vectoriel.

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